VFEnglish Version Julian Tugaut

Maître de Conférences HDR
Hors Classe
Université Jean Monnet

    Pour octobre 2025, Boris Nectoux et moi-même proposons un sujet de thèse sur le thème des diffusions de McKean-Vlasov réfléchies : sujet. N'hésitez pas à nous contacter si vous êtes intéressé(e).

    Si vous êtes en master, que vous souhaitez en apprendre plus sur les modèles de diffusions non linéaires (et sur leurs très nombreuses applications) et que vous aimeriez faire un stage de M2 (éventuellement afin de préparer ensuite un doctorat) sur le sujet, n'hésitez pas à m'envoyer un message électronique à l'adresse : julian (dot) tugaut (at) univ-st-etienne (dot) fr

    Mes travaux, depuis mon doctorat, se placent dans le cadre des probabilités. Plus précisément, je travaille dans le domaine du calcul stochastique. En cherchant dans ce domaine, je touche également à l'analyse fonctionnelle et à l'analyse des équations aux dérivées partielles.


    Rappelons que le mouvement brownien est une collection de variables aléatoires gaussiennes dont les incréments sont indépendants et dont les trajectoires sont presque sûrement continues. Il s'agit de l'interprétation probabiliste du Laplacien. On peut le voir comme le processus de la chaleur du point de vue microscopique.

    Soient \(b\) et \(\sigma\) deux fonctions de \(\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^d\) dans \(\mathbb{R}^d\). Une diffusion est une solution d'une équation stochastique de la forme \[ X_t=X_0+\int_0^t\sigma(s,X_s){\rm d}B_s+\int_0^tb(s,X_s){\rm d}s\,, \] où \(X_0\) est une variable aléatoire satisfaisant de bonnes propriétés et où l'intégrale impliquant le mouvement brownien dans l'équation précédente est au sens d'Itō. Un exemple classique de telle diffusion est la suivante : \[ X_t=X_0+\sigma B_t-\int_0^t\nabla V(X_s){\rm d}s \] où \(\sigma>0\) est une constante et où \(V\) est un potentiel réel. Il existe un lien naturel entre ce processus de diffusion \((X_t)_{t\geq0}\) et une équation aux dérivées partielles. En effet, un résultat classique est que la loi de \(X_t\) est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, pour tout \(t>0\). De plus, sa densité, que l'on note \(u\) c'est-à-dire que l'on a \(u(t,x){\rm d}x=\mathbb{P}\left(X_t\in\left[x;x+{\rm d}x\right]\right)\), vérifie l'équation aux dérivées partielles suivante : \[ \frac{\partial u}{\partial t}={\rm div}\left\{\frac{\sigma^2}{2}\nabla u+u\nabla V\right\}\,. \] L'équation stochastique admet une unique probabilité invariante (et parallèlement, l'équation aux dérivées partielles admet un unique état stationnaire de masse \(1\)). Cette probabilité invariante est la suivante : \(\displaystyle Z_\sigma^{-1}{\rm e}^{-\frac{2}{\sigma^2}V(x)}{\rm d}x\) où la quantité \(Z_\sigma\) permet une renormalisation adéquate. Sous certaines hypothèses, on dispose aussi de la convergence en temps long vers cet unique état stable. En d'autres termes, \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}u(t,x)=Z_\sigma^{-1}{\rm e}^{-\frac{2}{\sigma^2}V(x)}\).


    Dans l'exemple ci-dessus, la diffusion est homogène vu que le potentiel \(V\) ne dépend pas du temps. Dans mon travail, je m'intéresse aux diffusions qui ne sont pas homogènes en temps (et dont l'équation aux dérivées partielles associée est possiblement non locale), c'est-à-dire de la forme : \[ X_t=X_0+\sigma B_t-\int_0^t\nabla_x W(s,X_s){\rm d}s\,. \]     Ici, le potentiel \(W(s,\cdot)\) dépend du temps \(s\). Mon travail peut être effectué dans le cas où la dérive n'est pas de la forme gradient mais je choisis de présenter ici un cas typique de diffusion non linéaire.


    Quel est le lien entre les réseaux profonds de neurones, la charge et la décharge de la cathode dans une batterie de lithium, les plasmas, les polymères, le filtrage non linéaire, la finance stochastique, la dynamique moléculaire, l'échantillonnage, la chimiotaxie, la dynamique des populations et l'éconophysique ? Il y a une diffusion non linéaire sous-jacente.

    La dynamique des batteries de lithium est complexe et est souvent approchée par des modèles consistant en des équations aux dérivées partielles non linéaires sur la concentration ionique dans une grille d'atomes. Le point de vue microscopique correspond à un système de particules à champ moyen. Une question cruciale à propos de ce modèle consiste en l'estimation du premier temps où la concentration va d'un minimum à un autre.

    Optimiser des fonctions multimodales est une clef dans l'entraînement des réseaux profonds de neurones. Le comportement métastable des diffusions linéaires est bien connu. En d'autres termes, la diffusion reste un temps exponentiellement long dans un minimum local avant d'en sortir. Bien que l'on en sache peu sur le comportement métastable des diffusions non linéaires, celles-ci sont utilisées en pratique.

    Le principal objectif de ma recherche est de traiter théoriquement et numériquement ce genre de questions et celles qui lui sont liées : peut-on estimer le temps de sortie et le lieu de sortie d'une vaste variété de diffusions non linéaires dans des situations non convexes ?


    Un exemple de diffusion inhomogène auquel je m'intéresse est celui de la diffusion auto-stabilisante, laquelle est une instance particulière de diffusion de McKean-Vlasov et elle est aussi l'interprétation probabiliste des milieux granulaires. Ce dernier exemple est approprié pour modéliser divers phénomènes. Citons-en quatre : les plasmas, les interactions sociales, la contraction des cellules musculaires, l'interconnectivité des neurones.

    Considérons un grand nombre de particules (au sens physique du terme) qui entrent en collision inélastique dans un milieu aléatoire. La quantité de mouvement est conservée et l'énergie cinétique se dissipe. Une renormalisation adéquate lorsque le nombre de particules tend vers l'infini amène la diffusion de McKean-Vlasov ci-après \[ X_t=X_0+\sigma B_t-\int_0^t\nabla V(X_s){\rm d}s-\int_0^t\Big[\nabla F\ast\mathcal{L}\left(X_s\right)\Big](X_s){\rm d}s \] à être représentative du mouvement d'une particule (prise parmi une infinité). Le processus est généré par trois influences concurrentes : un mouvement brownien (lequel correspond à l'aléa du modèle), un potentiel \(V\) dit de confinement (qui correspond à la friction c'est-à-dire à la force extérieure qui agit sur les particules) et le potentiel \(F\) dit d'interaction (qui traduit les collisions inélastiques entre lesdites particules).

    Sous des conditions de régularité des potentiels \(V\) et \(F\), l'équation admet une unique solution forte \(\left(X_t\right)_{t\in\mathbb{R}_+}\) pourvu que la variable aléatoire initiale \(X_0\) admette un moment d'un certain ordre (cet ordre en question dépend directement da la croissance des potentiels de confinement et d'interaction). De plus, le moment d'ordre deux est uniformément borné en temps si bien que la famille \(\left\{\mathcal{L}\left(X_t\right)\right\}_{t\in\mathbb{R}_+}\) est tendue.

    Le terme diffusif permet une régularisation automatique de la loi. Ainsi, \(\mathcal{L}\left(X_t\right)\) est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue pour tout \(t>0\). De plus, la densité - que l'on note \(u_t(x)\) (c'est-à-dire que l'on a \(\mathbb{P}\left(X_t\in[x;x+{\rm d}x]\right)=u_t(x){\rm d}x\)) - vérifie l'équation aux dérivées partielles non linéaire dite des milieux granulaires : \[ \frac{\partial}{\partial t}u_t(x)={\rm div}\left\{\frac{\sigma^2}{2}\nabla u_t(x)+u_t(x)\nabla V(x)+u_t(x)\nabla F\ast u_t(x)\right\}\,. \] Cette équation aux dérivées partielles traduit macroscopiquement le comportement microscopique du système de particules.

    Un couplage adéquat lui associe en effet la diffusion de McKean-Vlasov. Regardons \(N\) telles diffusions indépendantes : \[ X_t^i=X_0^i+\sigma B_t^i-\int_0^t\nabla V(X_s^i){\rm d}s-\int_0^t\nabla F\ast u_s(X_s^i){\rm d}s\,. \] Les mouvements Browniens (et les variables aléatoires initiales) sont supposés indépendants. On se donne également le système de particules en interaction de type champ moyen : \[ Y_t^i=X_0^i+\sigma B_t^i-\int_0^t\nabla V(Y_s^i){\rm d}s-\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N\int_0^t\nabla F\left(Y_s^i-Y_s^j\right){\rm d}s\,. \] Intuitivement, la mesure empirique \(\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N\delta_{Y_t^j}\) converge vers \(u_t\) lorsque \(N\) tend vers l'infini. On parle de propagation du chaos. En utilisant l'échangeabilité des particules, le couplage implique la convergence vers \(0\) de la quantité \(\displaystyle\sup_{t\in[0;T]}\mathbb{E}\left\{\left|\left|X_t^1-Y_t^1\right|\right|^2\right\}\) pour tout \(T>0\).

    Le comportement de \(u_t(x)\) lorsque \(t\) tend vers l'infini n'est pas immédiat. De même, l'unicité de la probabilité invariante ne l'est pas. Quant au problème de sortie, il ne l'est pas non plus. Toutefois, nous disposons aujourd'hui de résultats partiels sur ces questions (mesures stationnaires, convergence, vitesse de convergence et bassins d'attraction ainsi que métastabilité).

    Quelques collaborateurs : Samuel Herrmann (PR à l'Université de Bourgogne, France), Hong Duong (Assistant Professor à University of Birmingham, Royaume-Uni), Bartłomiej Dyda (Assistant Professor à Uniwersytet Wroclawski, Pologne), Pierre Del Moral (DR INRIA, France), Aline Kurtzmann (Maître de Conférences à l'Université de Lorraine, France), Olivier Alata (PR à l'Université Jean Monnet, France), Gonçalo Dos Reis (Lecturer à University of Edinburgh, Royaume-Uni), Jean-François Jabir (Assistant Professor à Higher School of Economics, Russie), Mario Maurelli (Assistant Professor à Pisa, Italie), David Ruiz Baños (Assistant Professor à Oslo, Norvège), Paul-Éric Chaudru de Raynal (Maître de Conférences à Nantes, France), Pierre Monmarché (Maître de Conférences à Sorbonne Université, France), Milica Tomašević (CR CNRS, France)...

    Quelques séjours à l'étranger :.