VFEnglish Version Julian Tugaut

Maître de Conférences HDR
Hors Classe
Université Jean Monnet

    Si vous êtes en master, que vous souhaitez en apprendre plus sur les modèles de diffusions non linéaires (et sur leurs très nombreuses applications) et que vous aimeriez faire un stage de M2 (éventuellement afin de préparer ensuite un doctorat) sur le sujet, n'hésitez pas à m'envoyer un message électronique à l'adresse : julian (dot) tugaut (at) univ-st-etienne (dot) fr

    Sujet de thèse en Probabilités avec Arnaud Guillin et Boris Nectoux : Étude de la métastabilité des processus de McKean-Vlasov réfléchis au bord d'un domaine.

    Mes travaux, depuis mon doctorat, se placent dans le cadre des probabilités. En cherchant dans ce domaine, je touche également à l'analyse fonctionnelle et à l'analyse des équations aux dérivées partielles.



    Plus précisément, je travaille dans le domaine du calcul stochastique. Rappelons que le mouvement brownien est une collection de variables aléatoires gaussiennes dont les incréments sont indépendants et dont les trajectoires sont presque sûrement continues. Il s'agit de l'interprétation probabiliste du Laplacien. On peut le voir comme le processus de la chaleur du point de vue microscopique.

    Soient \(b\) et \(\sigma\) deux fonctions de \(\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^d\) dans \(\mathbb{R}^d\). Une diffusion est une solution d'une équation stochastique de la forme \[ X_t=X_0+\int_0^t\sigma(s,X_s){\rm d}B_s+\int_0^tb(s,X_s){\rm d}s\,, \] où \(X_0\) est une variable aléatoire satisfaisant de bonnes propriétés. Un exemple classique de telle diffusion est la suivante : \[ X_t=X_0+\sigma B_t-\int_0^t\nabla V(X_s){\rm d}s \] où \(\sigma>0\) est une constante et où \(V\) est un potentiel réel. Il existe un lien naturel entre cette diffusion \((X_t)_t\) et une équation aux dérivées partielles. En effet, un résultat classique est que la loi de \(X_t\) est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, pour tout \(t>0\). De plus, sa densité, que l'on note \(u\), vérifie l'équation aux dérivées partielles suivante : \[ \frac{\partial u}{\partial t}={\rm div}\left\{\frac{\sigma^2}{2}\nabla u+u\nabla V\right\}\,. \] L'équation stochastique admet une unique probabilité invariante (et parallèlement, l'équation aux dérivées partielles admet une unique solution stationnaire de masse \(1\)) à savoir \(Ze^{-\frac{2}{\sigma^2}V(x)}{\rm d}x\). Sous certaines hypothèses, on dispose aussi de la convergence en temps long vers cet unique état stable.

    Dans l'exemple ci-dessus, la diffusion est homogène car le potentiel \(V\) ne dépend pas du temps. Je m'intéresse personnellement aux diffusions qui ne sont pas homogènes, c'est-à-dire de la forme : \[ X_t=X_0+\sigma B_t-\int_0^t\nabla_x W(s,X_s){\rm d}s\,. \]     Ici, le potentiel \(W\) dépend du temps. Mon travail peut être effectué dans un cas non gradient mais je choisis de présenter ici un cas typique de diffusion non-linéaire.



    Quel est le lien entre les réseaux profonds de neurones, la charge et la décharge de la cathode dans une batterie de lithium, les plasmas, les polymères, le filtrage, la finance, la dynamique moléculaire, l'échantillonnage, la chimiotaxie, la dynamique des populations et l'éconophysique? Il y a une diffusion non linéaire sous-jacente.

    La dynamique des batteries de lithium est complexe et est souvent approchée par des modèles consistant en des équations aux dérivées partielles non linéaires sur la concentration ionique dans une grille d'atomes. Le point de vue microscopique correspond à un système de particules à champ moyen. Une question cruciale à propos de ce modèle consiste en l'estimation du premier temps où la concentration va d'un minimum à un autre.

    Optimiser des fonctions multi-modales est une clef dans l'entraînement des réseaux profonds de neurones. Le comportement métastable des diffusions linéaires est bien connu. En d'autres termes, la diffusion reste un temps exponentiel dans un minimum local avant d'en sortir. Bien que l'on en sache peu sur le comportement métastable des diffusions non linéaires, celles-ci sont utilisées en pratique.

    Le principal objectif de ma recherche est de traiter théoriquement et numériquement ce genre de questions et celles qui lui sont liées : peut-on estimer le temps de sortie et le lieu de sortie d'une vaste variété de diffusions non linéaires dans des situations non convexes?



    Un exemple de diffusion inhomogène est celui de la diffusion de McKean-Vlasov, qui est l'interprétation probabiliste des milieux granulaires. Ce dernier exemple est approprié pour modéliser divers phénomènes. Citons-en quatre : les plasmas, les interactions sociales, la contraction des cellules musculaires, l'interconnectivité des neurones.

    Considérons un grand nombre de particules qui entrent en collision inélastique dans un milieu aléatoire. La quantité de mouvement est conservée et l'énergie cinétique se dissipe. Une renormalisation adéquate lorsque le nombre de particules tend vers l'infini amène la diffusion de McKean-Vlasov \[ X_t=X_0+\sigma B_t-\int_0^t\nabla V(X_s){\rm d}s-\int_0^t\left[\nabla F\ast\mathcal{L}\left(X_s\right)\right](X_s){\rm d}s \] à être représentative du mouvement d'une particule (parmi une infinité). Le processus est généré par trois influences concurrentes : un mouvement brownien (l'aléa du modèle), un potentiel \(V\) dit de confinement (qui correspond à la friction) et le potentiel \(F\) dit d'interaction (qui traduit les collisions inélastiques).

    Sous des conditions de régularité de \(V\) et \(F\), l'équation admet une solution forte \(\left(X_t\right)_{t\in\mathbb{R}_+}\) si la variable aléatoire initiale \(X_0\) admet un moment d'un certain ordre. De plus, le moment d'ordre deux est uniformément borné en temps si bien que la famille \(\left\{\mathcal{L}\left(X_t\right)\right\}_{t\in\mathbb{R}_+}\) est tendue.

    Le terme diffusif permet une régularisation automatique de la loi. Ainsi, \(\mathcal{L}\left(X_t\right)\) est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue pour tout \(t>0\). De plus, la densité - que l'on note \(u_t(x)\) (c'est-à-dire que l'on a \(\mathbb{P}\left(X_t\in[x;x+{\rm d}x]\right)=u_t(x){\rm d}x\)) - vérifie l'équation aux dérivées partielles non-linéaire dite des milieux granulaires : \[ \frac{\partial}{\partial t}u_t(x)={\rm div}\left\{\frac{\sigma^2}{2}\nabla u_t(x)+u_t(x)\nabla V(x)+u_t(x)\nabla F\ast u_t(x)\right\}\,. \] Celle-ci traduit macroscopiquement le comportement microscopique du système de particules.

    Un couplage adéquat lui associe en effet la diffusion de McKean-Vlasov. Regardons \(N\) telles diffusions indépendantes : \[ X_t^i=X_0^i+\sigma B_t^i-\int_0^t\nabla V(X_s^i){\rm d}s-\int_0^t\nabla F\ast u_s(X_s^i){\rm d}s\,. \] Les mouvements Browniens (et les variables aléatoires initiales) sont supposés indépendants deux à deux. On se donne également le système de particules en interaction de type champ moyen : \[ Y_t^i=X_0^i+\sigma B_t^i-\int_0^t\nabla V(Y_s^i){\rm d}s-\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N\int_0^t\nabla F\left(Y_s^i-Y_s^j\right){\rm d}s\,. \] Intuitivement, la mesure empirique \(\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N\delta_{Y_t^j}\) converge vers \(u_t\) lorsque \(N\) tend vers l'infini. On parle de propagation du chaos. En utilisant l'échangeabilité des particules, le couplage implique la convergence vers \(0\) de la quantité \(\displaystyle\sup_{t\in[0;T]}\mathbb{E}\left\{\left|\left|X_t^1-Y_t^1\right|\right|^2\right\}\) pour tout \(T>0\).

    Quelques collaborateurs : Samuel Herrmann (PR à l'Université de Bourgogne, France), Hong Duong (Assistant Professor à University of Birmingham, Royaume-Uni), Bartłomiej Dyda (Assistant Professor à Uniwersytet Wroclawski, Pologne), Pierre Del Moral (DR INRIA, France), Aline Kurtzmann (Maître de Conférences à l'Université de Lorraine, France), Olivier Alata (PR à l'Université Jean Monnet, France), Gonçalo dos Reis (Lecturer à University of Edinburgh, Royaume-Uni), Jean-François Jabir (Assistant Professor à Higher School of Economics, Russie), Mario Maurelli (Assistant Professor à Pisa, Italie), Yulong Lu (Assistant Professor à University of Massachusetts Amherst, États-Unis), David Ruiz Baños (Assistant Professor à Oslo, Norvège), Paul-Eric Chaudru de Raynal (Maître de Conférences à Nantes, France), Pierre Monmarché (Maître de Conférences à Sorbonne Université, France), Milica Tomašević (CR CNRS, France)...

    Quelques séjours à l'étranger :.