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Sommaire

  1. 1. Diffusions de McKean-Vlasov
  2. 2. Système de particules pour les batteries de lithium
  3. 3. Équation de Vlasov-Fokker-Planck
  4. 4. Modèle de Cucker-Smale
  5. 5. Théorie du potentiel
  6. 6. Modèle de D.I.R.T.
  7. 7. Ensembles de Kalman
  8. 8. Optimisation et Algorithmes stochastiques
  9. 9. Diffusions auto-interagissantes
  10. 10. Théorie de Freidlin et Wentzell
  11. 11. Modèle Lagrangien conditionnel
  12. 12. Inégalités fonctionnelles
  13. 13. Processus gaussiens
  14. 14. Résonance stochastique
  15. 15. Calcul de Malliavin

Diffusions de McKean-Vlasov standards

    Je m'intéresse principalement aux diffusions auto-stabilisantes, \(\left(\overline{X}_t\right)_{t\geq0}\). Il s'agit de processus non-homogènes au sens de McKean. La propre loi de la diffusion intervient dans la dérive. Dans les cas que j'ai considérés, celle-ci est le gradient du potentiel \(W_t:=V+F\ast\mu_t\) où \(\mu_t:=\mathcal{L}\left(\overline{X}_t\right)\) est la loi de la diffusion \(\overline{X}\) au temps \(t\) et \(\ast\) correspond à une convolution. L'équation aux dérivées partielles qui lui est associée - dite des milieux granulaires - est ainsi non-linéaire : \[\frac{\partial}{\partial t}\mu_t={\rm div}\left[\frac{\sigma^2}{2}\nabla\mu_t+\mu_t\left(\nabla V+\nabla F\ast\mu_t\right)\right]\,.\]     Une telle diffusion correspond à la limite hydrodynamique d'un système de particules en interaction de type champ moyen : \[ \left\{\begin{array}{ll} X_t^1=X_0^1+\sigma B_t^1-\int_0^t\nabla V\left(X_s^1\right)ds-\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N\int_0^t\nabla F\left(X_s^1-X_s^j\right)ds\\ \vdots\\ X_t^i=X_0^i+\sigma B_t^i-\int_0^t\nabla V\left(X_s^i\right)ds-\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N\int_0^t\nabla F\left(X_s^i-X_s^j\right)ds\\ \vdots\\ X_t^N=X_0^N+\sigma B_t^N-\int_0^t\nabla V\left(X_s^N\right)ds-\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N\int_0^t\nabla F\left(X_s^N-X_s^j\right)ds \end{array}\right.\,. \]     En effet, lorsque le nombre de particules \(N\) d'un tel système approche l'infini, chacune d'entre elles tend à être indépendante des autres, par un phénomène dit de propagation du chaos. De plus, chaque particule \(X^i\) tend à se comporter comme une diffusion auto-stabilisante, \(\overline{X}^i\).

    Ce modèle peut se rencontrer dans des problèmes de filtration, lorsque l'on considère des interactions sociales, la contraction des cellules musculaires mais également lorsque l'on s'intéresse à un marché où les agents économiques adaptent leurs choix en fonction du comportement global du marché.

    Lorsque \(V\) et \(F\) sont tous les deux convexes, le comportement à petit bruit et celui à temps long sont bien compris puisqu'il y a une unique mesure de probabilité invariante \(\mu^\sigma\). Toutefois, la non-convexité de \(V\) ou celle de \(F\) introduit des difficultés puisqu'un certain nombre d'outils ne peuvent plus être utilisés.



Collaborateurs principaux sur ce thème : Samuel Herrmann, Gonçalo Dos Reis, Jean-François Jabir



[1] S. Benachour, B. Roynette, D. Talay, P. Vallois, Nonlinear self-stabilizing processes. I. Existence, invariant probability, propagation of chaos, Stochastic Process. Appl. 75 (2) (1998) 173--201.
[2] S. Benachour, B. Roynette, P. Vallois, Nonlinear self-stabilizing processes. II. Convergence to invariant probability, Stochastic Process. Appl. 75 (2) (1998) 203--224.
[3] P. Cattiaux, A. Guillin, and F. Malrieu. Probabilistic approach for granular media equations in the non-uniformly convex case. Probab. Theory Related Fields, 140(1-2):19--40, 2008.
[4] José A. Carrillo, Robert J. McCann, and Cédric Villani. Kinetic equilibration rates for granular media and related equations: entropy dissipation and mass transportation estimates. Rev. Mat. Iberoamericana, 19(3):971--1018, 2003.
[5] S. Herrmann, P. Imkeller, D. Peithmann, Large deviations and a Kramers'type law for self-stabilizing diffusions, Ann. Appl. Probab. 18 (4) (2008) 1379--1423.
[6] H.P. McKean Jr., Propagation of chaos for a class of non-linear parabolic equations., in: Stochastic Differential Equations (Lecture Series in Differential Equations, Session 7, Catholic Univ., 1967), Air Force Office Sci. Res., Arlington, VA, 1967, pp. 41--57.
[7] A.-S. Sznitman, Topics in propagation of chaos, in: École d'Été de Probabilités de Saint-Flour XIX-1989, in: Lecture Notes in Math., vol. 1464, Springer, Berlin, 1991, pp. 165-251.

Diffusions de McKean-Vlasov réfléchies

    Je m'intéresse aussi aux diffusions auto-stabilisantes réfléchies c'est-à-dire à des diffusions de type McKean-Vlasov sur un compact avec réflexion au bord du compact. In fine, le modèle en question est le suivant : \[ \left\{\begin{array}{ll} &X_t=X_0+\sigma B_t-\int_0^t\nabla V\left(X_s\right)ds-\int_0^t\nabla F\ast\mu_s\left(X_s\right)ds-k_t\\ &\mathbb{P}\left(X_t\in dx\right)=\mu_t(dx)\\ &X_t\in[-R;R]\\ &\left|k\right|_t=\int_0^1\mathbf{1}_{\left\{-R;R\right\}}\left(X_s\right)d\left|k\right|_s\\ &k_t=\int_0^tn\left(X_s\right)d\left|k\right|_s \end{array}\right. \] où \(\left|\,{\bf .}\,\right|\) désigne la variation totale et \(n\) est le vecteur unitaire normal sortant à l'intervalle \([-R;R]\) c'est-à-dire \(n(x):={\rm sgn}(x)\mathbf{1}_{\left\{-R;R\right\}}(x)\).

    Cette équation différentielle stochastique non-linéaire a trois inconnues : le couple \(\left(X_t,k_t\right)\) ainsi que la famille de densités \(\left(\mu_t\right)_{t\in\mathbb{R}_+}\).

    Ce modèle est utilisé pour modéliser le fonctionnement de certains systèmes biologiques. Les particules ne peuvent ici pas s'échapper de la région \([-R;R]\). Et, chaque fois qu'une particule atteint la frontière de cette région, elle est renvoyée à l'intérieur.

    Notons que l'équation aux dérivées partielles associée est la suivante (d'après la formule d'Itô) : \[ \left\{\begin{array}{ll} &\frac{\partial}{\partial t}\mu_t=\frac{\partial}{\partial x}\left\{\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial}{\partial x}\mu_t+\left(V+F\ast\mu_t\right)\mu_t\right\}\\ &\frac{\partial}{\partial x}\mu_t(R)=-\frac{2}{\sigma^2}\mu_t(R)\left(V(R)+F\ast\mu_t(R)\right)\\ &\frac{\partial}{\partial x}\mu_t(-R)=-\frac{2}{\sigma^2}\mu_t(-R)\left(V(-R)+F\ast\mu_t(-R)\right) \end{array}\right. \]     Des résultats sont bien connus lorsqu'il n'y a pas de potentiel de confinement (et sous certaines hypothèses portant sur le potentiel d'interaction).

    Je regarde le cas où le potentiel de confinement \(V\) est non-convexe et où le potentiel d'interaction \(F\) est convexe. Les questions que je me pose sont l'existence et l'unicité ou non d'une probabilité invariante ainsi que la convergence en temps long vers une mesure stationnaire. Également, je suis intéressé par le premier temps où la diffusion touche le bord du domaine, à petit bruit. Enfin, je compte regarder le cas de la dimension générale.



Collaborateurs principaux sur ce thème : Gonçalo Dos Reis, Mario Maurelli



[1] Madalina Deaconu, Sophie Wantz, Processus non linéaire autostabilisant réfléchi, In Bulletin des Sciences Mathématiques, Volume 122, Issue 7, 1998, Pages 521--569.

Couples de diffusions de McKean-Vlasov

    Les diffusions de McKean-Vlasov permettent de rendre compte de certains problèmes biologiques. Néanmoins, il arrive qu'au lieu de devoir considérer une espèce unique, on soit amené à en considérer deux qui interagissent entre elles. C'est l'objet des couples de diffusions de McKean-Vlasov. Présentons d'abord le système de particules associé.

    On considère deux suites d'entiers \(\left(N_n\right)_n\) et \(\left(M_n\right)_n\) qui tendent vers l'infini. On se donne deux potentiels de confinement \(V_1\) et \(V_2\). On se donne également quatre potentiels d'interaction \(F_{1,1}\), \(F_{1,2}\), \(F_{2,1}\) et \(F_{2,2}\). On suppose qu'ils ne sont pas tous égaux (sinon, on pourrait se ramener au cas des diffusions de McKean-Vlasov standards). Le modèle particulaire auquel je m'intéresse est le suivant : \[ \left\{\begin{array}{ll} X_t^i=X_0^i+\sigma B_t^i-\int_0^t\nabla V_1\left(X_s^i\right)ds-\frac{1}{N_n+M_n}\int_0^t\left[\sum_{j=1}^{N_n}\nabla F_{1,1}\left(X_s^i-X_s^j\right)ds+\sum_{j=1}^{M_n}\nabla F_{1,2}\left(X_s^i-Y_s^j\right)\right]ds\,,\quad 1\leq i\leq N_n\,,\\ Y_t^i=Y_0^i+\sigma \widetilde{B_t^i}-\int_0^t\nabla V_2\left(Y_s^i\right)ds-\frac{1}{N_n+M_n}\int_0^t\left[\sum_{j=1}^{N_n}\nabla F_{2,1}\left(Y_s^i-X_s^j\right)+\sum_{j=1}^{M_n}\nabla F_{2,2}\left(Y_s^i-Y_s^j\right)\right]ds\,,\quad 1\leq i\leq M_n\,. \end{array}\right. \]     Ici, \(B^i\) et \(\widetilde{B^i}\) sont des mouvements Browniens indépendants. Lorsque \(N_n\) et \(M_n\) tendent vers l'infini, on a un phénomène de propagation du chaos et la limite hydrodynamique suivante apparaît naturellement : \[ \left\{\begin{array}{ll} X_t=X_0+\sigma B_t-\int_0^t\nabla V_1\left(X_s\right)ds-\int_0^t\left[a\nabla F_{1,1}\ast\mu_s\left(X_s\right)+(1-a)\nabla F_{1,2}\ast\nu_s\left(X_s\right)\right]ds\,,\\ Y_t=Y_0+\sigma \widetilde{B_t}-\int_0^t\nabla V_2\left(Y_s\right)ds-\int_0^t\left[a\nabla F_{2,1}\ast\mu_s\left(Y_s\right)+(1-a)\nabla F_{2,2}\ast\nu_s\left(Y_s\right)\right]ds\,,\\ \mathbb{P}\left(X_t\in dx\right)=\mu_t(dx)\,,\\ \mathbb{P}\left(Y_t\in dx\right)=\nu_t(dx)\, \end{array}\right. \] où \(a\in]0;1[\).

    Le cas où les potentiels de confinement \(V_1\) et \(V_2\) sont nuls et où \(F_{1,1}=F_{2,2}\) et \(F_{1,2}=F_{2,1}\) a déjà été étudié. Ici, on suppose que \(V_1\) et \(V_2\) sont deux potentiels non-convexes différents.

    Outre les questions classiques, une question que je me pose est celle du premier temps où les deux espèces se séparent. En d'autres termes, je m'intéresse au premier temps où la plupart des trajectoires de \(X\) sont dans un puits et la plupart de celles de \(Y\) sont dans un autre puits. Remarque : il faut bien sûr donner un sens mathématique à l'expression "la plupart".



Collaborateurs principaux sur ce thème : Samuel Herrmann, Hong Duong



[1] Herrmann, Samuel. (2003). Système de processus auto-stabilisants. (System of autostabilizing processes). Dissertationes Mathematicae. 414.

Autres questions étudiées

    Dans les paragraphes précédents, on se donne des potentiels d'interaction de classe \(\mathcal{C}^2\). Je m'intéresse aussi au cas où le potentiel d'interaction contient une singularité. Par exemple, je regarde la diffusion \(X_t=X_0+\sigma B_t-\int_0^t\nabla V\left(X_s\right)ds-\int_0^t\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{X_s-x}\mu_s(dx)ds\) où \(\mu_t=\mathcal{L}\left(X_t\right)\). Une question est notamment de savoir si le problème est bien posé c'est-à-dire s'il n'y a pas d'explosion lorsque les trajectoires entrent en collision. Le problème dual est celui du système de particules associé : lorsque le nombre de particules \(N\) est grand, sous quelles conditions est-on sûr que les particules n'entrent pas en collision ?

    Plus généralement, je regarde des diffusions de McKean-Vlasov avec des coefficients (coefficient de diffusion non nécessairement constant et dérive) dégénérés. Typiquement, je m'intéresse à des coefficients de type Sobolev.

    Pour aller plus loin que la propagation du chaos, on peut regarder un théorème de fluctuation. Dawson a déjà obtenu un tel résultat dans le cas de la dimension un avec \(V(x):=\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\) et \(F(x):=\frac{\alpha}{2}x^2\). L'hypothèse principale est que le coefficient de diffusion \(\sigma\) est suffisamment grand (de tel sorte qu'il y a une unique probabilité invariante). On sait que si \(\sigma\) est assez petit, il y a exactement trois probabilités invariantes. Néanmoins, je m'attache - avec des collaborateurs - à démontrer que l'on dispose d'un résultat de fluctuation pour peu que le coefficient de diffusion soit différent de la valeur critique séparant les phases d'unicité et de tiercéïté des probabilités invariantes.

    Toujours dans le cadre du système de particules en interaction de type champ moyen, je suis intéressé par le cas où \(N\) est grand et j'étudie cela avec des outils de type grandes déviations. Le but est d'obtenir un résultat de temps de sortie d'un domaine \(\mathcal{D}\) exponentiel en \(N\).

    Une autre application des diffusions de McKean-Vlasov est le sampling. On sait en effet que l'on peut simuler une loi de probabilité de la forme \(Z^{-1}\exp\left(-2V\right)\) où \(V\) est un potentiel de \(\mathbb{R}^d\) et \(Z:=\int_{\mathbb{R}^d}\exp\left(-2V(x)\right)dx\). Pour ce faire, on utilise une diffusion classique \(X_t=X_0+B_t-\int_0^t\nabla V\left(X_s\right)ds\) et l'on voit que l'ergodicité implique la convergence en loi de la diffusion \(X\) vers la mesure recherchée. Néanmoins, à moins que le potentiel ne soit convexe (ce qui n'est en soit pas le cas le plus intéressant), la vitesse de convergence n'est pas forcément bonne. Aussi, l'idée est d'utiliser une non-linéarité de type McKean plus générale que celle des processus auto-stabilisants pour accélérer la convergence.

    Également, je compte regarder un cas plus général avec des mouvements Browniens fractionnaires au lieu d'un mouvement Brownien. On obtient alors un Laplacien fractionnaire dans l'équation aux dérivées partielles associée.



Collaborateurs principaux sur ce thème : Gonçalo Dos Reis, Jean-François Jabir, Lukasz Szpruch, Hong Duong



[1] Dawson, D.A. J Stat Phys (1983) 31: 29.

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Système de particules pour les batteries de lithium

    L'équation régissant la proportion d'atomes de lithium dans une batterie de lithium est la suivante : \[ dX_t=\sigma dB_t-V'\left(X_t\right)dt+\mathbb{E}\left[V'\left(X_t\right)\right]dt+\dot{q}(t)dt\,, \] où \(q\) est la charge de la batterie. Typiquement, on s'intéresse à une charge lente, de la forme \(\dot{q}(t)=\exp\left\{-\frac{2\mu}{\sigma^2}\right\}\). Ici, \(\mu\) est une constante. On notera que ce système n'est jamais en équilibre puisque l'on a \(\mathbb{E}\left[X_t\right]=q(t)=t\exp\left\{-\frac{2\mu}{\sigma^2}\right\}\)

    L'interprétation en terme de système de particules est comme suit : \[ dX_t^i=-V'\left(X_t^i\right)dt+\frac{1}{N}\sum_{j=1}^NV'\left(X_t^j\right)dt+\sigma dB_t^i-\frac{\sigma}{N}\sum_{j=1}^NdB_t^j\,. \]     On peut alors remarquer que l'on a \(\frac{1}{N}\sum_{j=1}^NX_t^j=q(t)\) pour tout \(t\) et pour tout \(N\). Notons que pour coller au vrai modèle, il faudrait ajouter une réflexion aux bords de \([0;1]\) (une réflexion qui affecterait chaque particule en fait).

    Le principal résultat qui nous intéresse est de type métastabilité. Pour ce faire, on compte utiliser une modification de la théorie de Freidlin et Wentzell (en prenant en compte une dérive qui varie lentement au cours du temps).



Collaborateurs principaux sur ce thème : Gonçalo Dos Reis, Mario Maurelli



[1] S. Herrmann, P. Imkeller, D. Peithmann, Transition times and stochastic resonance for multidimensional diffusions with time periodic drift : a large deviations approach, Annals of Applied Probability 16, no. 4 (2006), pp 1851--1892.
[2] M. Herrmann, B. Niethammer, J. J. L. Velázquez, Kramers and Non-Kramers Phase Transitions in Many-Particle Systems with Dynamical Constraint, SIAM Multisc. Model. Simul. 10(3), 818--852 (2012)
[3] C. Guhlke, P. Gajewski, M. Maurelli, P. K. Friz, W. Dreyer, Stochastic many-particle model for LFP electrodes, Continuum Mechanics and Thermodynamics, (2018) 30: 593.
[4] M. Herrmann, B. Niethammer, J. J. L. Velázquez, Rate-independent dynamics and Kramers-type phase transitions in nonlocal Fokker-Planck equations with dynamical control. Arch. Ration. Mech. Anal. 124(3), 803--866 (2014).

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Équation de Vlasov-Fokker-Planck

    L'équation de Vlasov-Fokker-Planck est une équation aux dérivées partielles cinétique non-linéaire : \[ \frac{\partial}{\partial t}\mu_t(q,p)=\frac{\sigma^2}{2}\Delta_p\mu_t(q,p)-{\rm div}_q\left(p\mu_t(q,p)\right)+{\rm div}_p\left(\left(\nabla_qV(q)+\nabla_qF\ast\mu_t(q)+p\right)\mu_t(q,p)\right)\,, \] où \(V\) et \(F\) sont respectivement le potentiel de confinement et le potentiel d'interaction (j'utilise les mêmes notations que pour les diffusions de McKean-Vlasov et l'équation des milieux granulaires).

    L'interprétation probabiliste de l'équation de Vlasov-Fokker-Planck est la suivante : \[ \begin{align*} &dQ(t)=P(t)dt\,,\\ &dP(t)=\sigma dW(t)-\nabla V\left(Q(t)\right)dt-\nabla F\ast\mu_t\left(Q(t)\right)dt-P(t)dt\,. \end{align*} \]     Cette équation peut être vue comme une version cinétique de l'équation auto-stabilisante. Ainsi, on peut se ramener au cas non cinétique. Notamment, je m'intéresse aux probabilités invariantes de l'équation et à la convergence vers l'une des probabilités invariantes. Également, je cherche avec un collaborateur à obtenir des résultats de grandes déviations de type Freidlin et Wentzell et des résultats de propagation du chaos uniforme (du système de particules associé vers sa limite hydrodynamique).

    Un outil pour étudier cette équation est l'énergie-libre.



Collaborateur principal sur ce thème : Hong Duong



[1] F. Bouchut, J. Dolbeault, On long time asymptotics of the Vlasov-Fokker-Planck equation and of the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck system with Coulombic and Newtonian potentials, Differential Integral Equations 8 (3) (1995) 487--514.
[2] F. Bolley, A. Guillin, F. Malrieu, Trend to equilibrium and particle approximation for a weakly self-consistent Vlasov-Fokker-Planck equation, ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 44 (2010) 867--884.
[3] M.H. Duong, Long time behaviour and particle approximation of a generalized Vlasov dynamic, Nonlinear Anal. Theory, Methods Appl. 127 (2015) 1--16.
[4] T. Lelièvre, M. Rousset, G. Stoltz, Free Energy Computations: A Mathematical Perspective, Imperial College Press, 2010.

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Modèle de Cucker-Smale

    Le modèle de Cucker-Smale est un modèle de swarming, c'est-à-dire qu'il est utilisé pour modéliser le comportement d'un banc de poissons ou d'un nuage d'oiseaux lorsque le nombre d'individus est élevé. Il s'agit d'un système cinétique où la vitesse dépend de la vitesse "moyenne" de l'ensemble des individus. Je mets des guillemets autour du mot moyenne car cette moyenne est pondérée par la distance des autres individus à l'individu considéré. L'équation est donc de la forme suivante : \[ \begin{align*} &\frac{d x_i}{dt}=v_i\\ &\frac{dv_i}{dt}=-\frac{1}{N}\sum_{j=1}^NH\left(\left|x_i-x_j\right|\right)\left(v_i-v_j\right)\,, \end{align*} \] où \(x_i\) dénote la position de l'individu \(i\) et \(v_i\) sa vitesse. Ici, \(H\) est appelé le taux de communication. Dans le modèle originel, il admet cette forme : \[ H(x)=\frac{K}{\left(\zeta^2+|x|^2\right)^\gamma}\,, \] \(K\), \(\zeta\) et \(\gamma\) étant des paramètres positifs. De façon naturelle, plus l'individu \(j\) est loin de l'individu \(i\), moins les deux individus interagiront.

    Notons que ce système ne contient pas d'aléa. Le système auquel je m'intéresse en est une version bruitée : \[ \begin{align*} &\frac{d x_i}{dt}=v_i\\ &\frac{dv_i}{dt}=\sigma B_t^i-\frac{1}{N}\sum_{j=1}^NH\left(\left|x_i-x_j\right|\right)\left(v_i-v_j\right)\,, \end{align*} \] où \(\sigma>0\) est constant et où les mouvements Browniens \(B^i\) sont indépendants deux à deux. L'équation aux dérivées partielles associées est alors : \[ \frac{\partial}{\partial t}\rho_t=\frac{\sigma^2}{2}\Delta_v\rho_t-v{\bf .}\nabla_x\rho_t+\nabla_v\left[\xi\left(\rho_t\right)\rho_t\right]\,, \] où \(\xi(\rho):=\int_{\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d}H(|x-y|)(v-w)\rho\left(y,w\right)dydw\).

    Le modèle de Cucker-Smale peut donc être vu comme une généralisation de l'équation de Vlasov-Fokker-Planck. Les enjeux liés à ce modèle sont donc l'existence d'une probabilité invariante, l'éventuelle unicité de celle-ci et tout ce qui concerne les propriétés ergodiques. Également, je m'intéresse à la propagation du chaos uniforme du système de particules vers sa limite hydrodynamique et aux grandes déviations pour le système limite.



Collaborateur principal sur ce thème : Jean-François Jabir



[1] Carrillo J.A., Fornasier M., Toscani G., Vecil F. (2010) Particle, kinetic, and hydrodynamic models of swarming. In: Naldi G., Pareschi L., Toscani G. (eds) Mathematical Modeling of Collective Behavior in Socio-Economic and Life Sciences. Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology. Birkhäuser Boston

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Théorie du potentiel

    J'envisage de prendre un étudiant en thèse sur ce sujet pour caractériser les bassins d'attraction à petit bruit des différentes probabilités invariantes de la diffusion de McKean-Vlasov. En effet, les résultats de Bovier et de ses co-auteurs exploitent la théorie du potentiel afin d'obtenir des résultats quant à la métastabilité des processus. Pour ce faire, ils donnent un calcul asymptotique du temps de sortie du dit processus. À noter qu'ils ont le préfacteur en plus de l'équivalence exponentielle ; ce que ne fait pas la théorie de Freidlin et Wentzell.

    Une part importante de la théorie du potentiel repose sur les fonctions harmoniques. Soit \(\mathcal{D}\) un domaine de \(\mathbb{R}^d\). Soit \(h\) une fonction localement intégrable. On dit que \(h\) est harmonique si et seulement si : \[ h(x)=\frac{1}{\left|\mathbb{B}(0,r)\right|}\int_{\mathbb{B}(x,r)}h(y)dy\,, \] pour tout \(x\in\mathcal{D}\), pour tout \(r\in\left]0;d\left(x;\partial\mathcal{D}\right)\right[\). Ici, \(\mathbb{B}(x,r)\) est la boule euclidienne de centre \(x\) et de rayon \(r\). On dispose alors de certaines bonnes propriétés sur \(h\) : elle est bornée, de classe \(\mathcal{C}^\infty\), de laplacien nul. À noter que le problème de Dirichlet permet de lier les fonctions harmoniques avec le temps de sortie du domaine.



[1] Bovier, A.: Metastability: a potential theoretic approach. In: International Congress of Mathematicians, vol. III, pp. 499--518. Eur. Math. Soc., Zürich (2006).
[2] Bovier Anton, Eckhoff Michael, Gayrard Véronique, Klein Markus: Metastability in Reversible Diffusion Processes I: Sharp Asymptotics for Capacities and Exit Times. J. Eur. Math. Soc. 6 (2004), 399--424.
[3] Bovier Anton, Gayrard Véronique, Klein Markus: Metastability in reversible diffusion processes II: precise asymptotics for small eigenvalues. J. Eur. Math. Soc. 7 (2005), 69--99.

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Modèle de D.I.R.T.

    Le modèle de Delarue, Inglis, Rubenthaler et Tanré (D.I.R.T.) est un modèle de système de neurones en interaction de type McKean-Vlasov.

    On se donne une population de neurones indexée par \(1\leq i\leq N\). Chaque neurone a un potentiel \(V_i\) qui satisfait l'équation \[ \frac{d}{dt}V_i(t)=\sigma B_i(t)-\lambda V_i(t)+\frac{\alpha}{N}\sum_j\sum_k\delta\left(t-\tau_k^j\right)+\frac{\beta}{N}\sum_{j\neq i}V_j(t)+I_i^{ext}(t)\,, \] pour \(V_i(t)\) plus petit que la valeur \(V_F\). Et, si \(V_i(t)\) touche \(V_F\), il est immédiatement redescendu à \(V_R\). Ici, \(I_i^{ext}(t)\) est la stimulation externe du neurone. Les mouvements Browniens \(B^i\) sont supposés indépendants deux à deux. Le terme d'interaction n'est pas une convolution avec la loi de la diffusion \(V_i\) au temps \(t\) comme ce serait le cas dans une diffusion de McKean-Vlasov standard. L'interaction se fait à travers le temps d'arrêt \(\tau_k^j\) à savoir le temps où le neurone numéro \(j\) a son \(k^e\) pic. Lorsque ce temps est atteint, le potentiel de la membrane du neurone numéro \(i\) reçoit une stimulation de taille \(\frac{\alpha}{N}\).

    Lorsque \(N\) est grand, on peut, par un phénomène de propagation du chaos prendre la limite hydrodynamique et l'on obtient alors l'équation non-linéaire suivante : \[ X_t=X_0+\sigma B_t-\lambda\int_0^tX_sds+\alpha\mathbb{E}\left(M_t\right)-M_t\,. \] Ici, \(V_F=1\) et \(V_R=0\) d'où le coefficient devant \(M_t\) est \(1\). Le processus \(M_t\) est égal à \(M_t=\sum_{k\geq1}\mathbf{1}_{[0;t]}\left(\tau_k\right)\) où \(\left(\tau_k\right)_k\) est la suite de temps d'atteinte de la valeur \(1\) par le processus \(X\).

    Des résultats récents établissent que ce problème est bien posé. Je m'intéresse maintenant à des questions de nature ergodique sur ce modèle : existence et unicité de la probabilité invariante, convergence en temps long. Aussi, je souhaite obtenir des lois de type Kramers pour la suite des temps d'atteinte \(\tau_k\).



Collaborateurs principaux sur ce thème : Gonçalo Dos Reis, Mario Maurelli



[1] Delarue, François; Inglis, James; Rubenthaler, Sylvain; Tanré, Etienne. Global solvability of a networked integrate-and-fire model of McKean-Vlasov type. Ann. Appl. Probab. 25 (2015), no. 4, 2096--2133.

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Ensembles de Kalman

    Je m'intéresse aussi aux filtres de Kalman-Bucy et notamment à leur interprétation en tant que systèmes de particules, ce que l'on appelle les Ensembles de Kalman. On considère l'équation linéaire suivante : \[ dX_t=\left(AX_t+a\right)dt\,, \] où \(X_0\) est une variable aléatoire gaussienne évoluant dans \(\mathbb{R}^{r_1}\). Dans des applications concrètes comme les sciences de l'océan et de l'athmosphère, \(r_1\) peut être égal à \(10~000\). Ici, \(A\) est une matrice carrée de taille \(r_1\) et \(a\) est un vecteur de \(\mathbb{R}^{r_1}\). Le problème est que l'on n'a pas accès à \(X_t\) bien qu'il s'agisse du signal d'intérêt. Néanmoins, on a accès au signal \(Y\) défini comme suit : \[ dY_t=\left(CX_t+c\right)dt\,, \] où \(Y_0=0\). Ici, \(Y_t\) est une variable aléatoire évoluant dans \(\mathbb{R}^{r_2}\). En pratique, \(r_2\) est strictement plus petit que \(r_1\). Comment trouver \(X\) en connaissant \(Y\)?

    On introduit la matrice \(M\in\mathcal{M}_{r_1\times r_2,r_1}\) définie par \[ M:=\left( \begin{array}{c} C\\ CA\\ \vdots\\ CA^{r_1-1} \end{array}\right)\,. \]     On suppose que le rang de la matrice \(M\) est \(r_1\). Alors, la connaissance de \(Y\) (et de ses incréments donc) est suffisante pour décrire le processus \(X\). Cette condition d'observabilité est par ailleurs nécessaire.

    Dans les cas pratiques, des perturbations apparaissent dans l'équation de la variable d'état et dans celle de la variable d'observation. In fine, le système d'équations est : \[ \left\{ \begin{array}{l} dX_t=(Ax_t+a)dt+R_1^{\frac{1}{2}}dW_t\\ dY_t=(CX_t+c)dt+R_2^{\frac{1}{2}}dV_t \end{array}\right.\,. \]     On pose \(\mathcal{F}_t:=\sigma\left(Y_s\,\,:\,\,0\leq s\leq t\right)\). Et, \(\eta_t\) dénote la loi de \(X_t\) sachant \(\mathcal{F}_t\). Il est connu que la loi conditionnelle \(\eta_t\) est gaussienne donc elle est caractérisée par son espérance et par sa variance. On pose donc \(\widehat{X}_t:=\mathbb{E}\left[X_t\,\left|\right.\,\mathcal{F}_t\right]\) et \(P_t:=\mathbb{E}\left\{\left(X_t-\widehat{X}_t\right)\left(X_t-\widehat{X}_t\right)^T\right\}\). De plus, on dispose de l'équation (filtre de Kalman-Bucy) suivante : \[ d\widehat{X}_t=\left(A\widehat{X}_t+a\right)dt+P_tC^TR_2^{-1}\left(dY_t-\left(C\widehat{X}_t+c\right)dt\right)\,, \] ainsi que de l'équation de Riccati sur \(P_t\) : \[ \frac{d}{dt}P_t=AP_t+P_tA^T-P_tC^TR_2^{-1}CP_t+R_1\,. \]     L'équation de Riccati est très coûteuse à simuler si \(r_1=10~000\) puisque multiplier deux matrices carrées de cette taille nécessite \(3\times10^{12}\) calculs élémentaires. On considère donc la diffusion suivante : \[ d\overline{X}_t=\left(A\overline{X}_t+a\right)dt+R_1^{\frac{1}{2}}d\overline{W}_t+\mathcal{P}_{\eta_t}C^TR_2^{-1}\left[dY_t-\left(C\overline{X}_t+c\right)dt+R_2^{\frac{1}{2}}d\overline{V}_t\right]\,. \]     Ici, \(\mathcal{P}_{\eta_t}:=\mathbb{E}\left\{\left(\overline{X}_t-\mathbb{E}\left[\overline{X}_t\,\left|\right.\,\mathcal{F}_t\right]\right)\left(\overline{X}_t-\mathbb{E}\left[\overline{X}_t\,\left|\right.\,\mathcal{F}_t\right]\right)^T\right\}\). C'est une équation de type McKean-Vlasov avec une loi conditionnelle au lieu de la loi du processus. On peut alors utiliser l'approximation classique suivante : \[ d\xi_t^i=\left(A\xi_t^i+a\right)dt+R_1^{\frac{1}{2}}d\overline{W}_t^i+\mathcal{P}_t^NC^TR_2^{-1}\left[dY_t-\left(C\xi_t^i+c\right)dt+R_2^{\frac{1}{2}}d\overline{V}_t^i\right]\,. \] Ici, \(\left(\overline{W}^i\right)_i\) est une famille de Mouvements Browniens indépendants dans \(\mathbb{R}^{r_1}\) et \(\left(\overline{V}^i\right)_i\) en est une dans \(\mathbb{R}^{r_2}\).

    Je m'intéresse à montrer une propagation du chaos uniforme de l'Ensemble de Kalman (le système de particules) vers la diffusion non-linéaire. Par ailleurs, je n'ai présenté ici qu'un cas où \(X\) évolue linéairement mais je m'intéresse aussi au cas non-linéaire.



Collaborateurs principaux sur ce thème : Pierre Del Moral, Aline Kurtzmann



[1] G. Evensen. Sequential data assimilation with a non-linear quasi-geostrophic model using Monte Carlo methods to forecast error statistics. J Geophys Res 99(C5): vol.10 pp. 143-162 (1994)
[2] G. Evensen. The Ensemble Kalman Filter: theoretical formulation and practical implementation. Ocean Dynamics vol. 53, pp. 343--367 (2003).
[3] G. Evensen. Data assimilation : The ensemble Kalman filter, Springer, Berlin (2007).

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Optimisation et Algorithmes stochastiques

    Je porte également de l'intérêt à des applications plus concrètes des diffusions, à savoir celui des algorithmes stochastiques en optimisation. Typiquement, on se donne une fonction \(\varphi\) et l'on en cherche le minimum global ainsi que les points où ce minimum est atteint. Une méthode naïve consisterait à regarder le système dynamique \[dx_0(t)=-\nabla\varphi\left(x_0(t)\right)dt\,.\]     On sait que ce système déterministe converge vers un point critique de \(\varphi\). Toutefois, rien ne nous assure que ce point correspond à un minimum de potentiel ni même qu'il s'agit de l'argument du minimum global. En revanche, l'ajout d'un bruit additif de faible amplitude, \[dx_\sigma(t)=-\nabla\varphi\left(x_\sigma(t)\right)dt+\sigma dW_t\,,\] permet au système dynamique de s'échapper du domaine d'attraction pour visiter le reste de l'espace et ainsi de trouver en un temps fini le minimum global de \(\varphi\). La vitesse pour que le système atteigne le minimum global dépend du coefficient de diffusion \(\sigma\). Si celui-ci est trop grand, le mouvement brownien tend le système éloigné des puits de potentiel (ce qui devient problématique en dimension deux ou plus). S'il est trop petit, le temps pour s'échapper du domaine d'attraction d'un minimum local est trop élevé.

    Une méthode classique est celle du recuit simulé qui consiste à prendre une température de plus en plus faible. Une autre idée est celle du gradient moyenné, \[dy_\sigma(t)=\sigma dW_t-\frac{\int_0^th(s)\nabla\varphi\left(y_\sigma(s)\right)ds}{\int_0^th(s)ds}\,dt.\]     Une autre problématique liée à ce sujet est celle de Wang-Landau : il s'agit de trouver un processus - non nécessairement une diffusion - qui passe autant de temps dans chacun des ensembles de la forme \(\varphi^{-1}\left(\left[\lambda_1;\lambda_2\right]\right)\).



Collaborateurs principaux sur ce thème : Pierre Del Moral, Aline Kurtzmann, Charles-Edouard Bréhier



[1] Benaim M., Bréhier C.-E. Convergence analysis of Adaptive Biasing Potential methods for diffusion processes. 2017.
[2] Gadat S., Panloup F., Pellegrini C. Large Deviation Principle for invariant distributions of Memory Gradient Diffusions. Electronic Journal of Probability (2013), Volume 81, 1--34.

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Diffusions auto-interagissantes

    Une diffusion auto-interagissante est une diffusion dont les trajectoires interagissent avec leur passé. In fine, l'équation revient à la suivante : \[ dX_t=\sigma dB_t-\nabla V\left(X_t\right)dt-\nabla F\ast\nu_t\left(X_t\right)dt\,, \] où \(\nu_t:=\frac{1}{t}\int_0^t\delta_{X_s}ds\) est la moyenne empirique de la diffusion \(X\) au temps \(t\). Remarquons que la mesure \(\nu_t\) est généralement notée \(\mu_t\) dans la littérature mais nous choisissons ici une autre notation pour ne pas confondre avec la densité de probabilité de la diffusion de McKean-Vlasov. L'étoile dans l'équation précédente dénote la convolution. \(V\) est le potentiel de confinement (éventuellement constant) et \(F\) est le potentiel d'interaction.

    Un exemple de telle diffusion est : \[ X_t=X_0+\sigma B_t-\int_0^t\nabla V\left(X_s\right)ds-\alpha\int_0^t\left(X_s-\frac{1}{s}\int_0^sX_rdr\right)ds\,, \] avec \(\alpha>0\). Dans le cas présent, le potentiel d'interaction est quadratique.

    Les questions traditionnellement attachées à ce modèle sont l'existence et l'éventuelle unicité d'une probabilité invariante ainsi que la convergence de la moyenne empirique \(\nu_t\) vers cette probabilité invariante. La vitesse de convergence revêt un intérêt pratique puisque les diffusions auto-interagissantes jouent un rôle dans les algorithmes de sampling et d'optimisation.

    Une question qui m'intéresse est le temps de sortie de ces diffusions du bassin d'attraction d'un minimum local du potentiel de confinement \(V\), à petit bruit. En effet, le temps que le processus passe dans un domaine de ce type caractérise le temps que la loi de la diffusion (ainsi que la moyenne empirique de celle-ci) met pour converger vers la probabilité invariante.

    Remarquons que les trajectoires de la diffusion auto-interagissante n'interagissent pas entre elles. L'interaction porte uniquement sur le passé de la trajectoire considérée. De fait, bien que la théorie de Freidlin et Wentzell ne soit pas standard pour ces diffusions, elle sera plus simple à adapter que pour la diffusion de McKean-Vlasov.



Collaborateurs principaux sur ce thème : Aline Kurtzmann, Charles-Edouard Bréhier, Pierre Del Moral



[1] Benaïm, M., Ledoux, M. and Raimond, O. (2002). Self-interacting diffusions. Probab. Theory Related Fields 122 1--41.
[2] Benaïm, M. and Raimond, O. (2005). Self-interacting diffusions III: Symmetric interactions. Ann. Probab. 33 1716--1759.
[3] Chambeu, Sébastien; Kurtzmann, Aline. Some particular self-interacting diffusions: Ergodic behaviour and almost sure convergence. Bernoulli 17 (2011), no. 4, 1248--1267.
[4] Kurtzmann, A. (2010). The ODE method for some self-interacting diffusions on \(\mathbb{R}^d\). Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 46 618--643.

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Théorie de Freidlin et Wentzell

    Un de mes outils principaux est la théorie des grandes déviations pour les processus et plus spécialement la théorie de Freidlin et Wentzell. Considérons une diffusion \(\left(x_t\right)_{t\in\mathbb{R}_+}\) : \[ x_t=x_0+\sigma\beta_t-\int_0^t\nabla V\left(x_s\right)ds\,, \] où \(\left(\beta_t\right)_{t\in\mathbb{R}_+}\) est un Mouvement Brownien et \(V\) est un potentiel de \(\mathbb{R}^d\). Lorsque le coefficient de diffusion \(\sigma\) est petit, la trajectoire \(\left(x_t\right)_{t\in[0;T]}\) est "proche" de la trajectoire déterministe \(\left(\psi_t(x_0)\right)_{t\in[0;T]}\) où l'on a \(\psi_t(x_0)=x_0-\int_0^t\nabla V\left(\psi_s(x_0)\right)ds\).

    En particulier, on s'intéresse aux grandes déviations par rapport à cette trajectoire déterministe. Notamment, on peut utiliser la théorie de Freidlin et Wentzell pour déterminer le temps que le processus met pour sortir d'un domaine donné de \(\mathbb{R}^d\). Le résultat est bien connu dans le cas d'une diffusion classique sous certaines hypothèses simples à vérifier. Pour tout \(\delta>0\), on a : \[ \lim_{\sigma\to0}\mathbb{P}\left\{\exp\left[\frac{2}{\sigma^2}\left(H-\delta\right)\right]\leq\tau_{\mathcal{D}}(\sigma)\leq\exp\left[\frac{2}{\sigma^2}\left(H+\delta\right)\right]\right\}=1\,, \] où \(H>0\) est la valeur minimale du potentiel \(V\) sur le bord du domaine \(\mathcal{D}\) moins la valeur minimale du potentiel \(V\) sur le domaine \(\mathcal{D}\). Je m'intéresse à établir de tels résultats pour des diffusions inhomogènes en temps comme la diffusion de McKean-Vlasov ou la diffusion auto-interagissante.



Collaborateurs principaux sur ce thème : Gonçalo Dos Reis, Jean-François Jabir, William Salkeld, Samuel Herrmann



[1] A. Dembo and O. Zeitouni: Large deviations techniques and applications, volume 38 of Stochastic Modelling and Applied Probability. Springer-Verlag, Berlin, 2010. Corrected reprint of the second (1998) edition.
[2] M. I. Freidlin and A. D. Wentzell: Random perturbations of dynamical systems, volume 260 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, New York, second edition, 1998. Translated from the 1979 Russian original by Joseph Szücs.

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Modèle Lagrangien conditionnel

    Le modèle Lagrangien conditionnel apparaît naturellement dans l'étude des écoulements turbulents. Il décrit l'évolution de la position et de la vélocité des solutions statistiques à l'équation de Navier-Stokes (dont une alternative est justement le modèle lagrangien conditionnel). Il s'agit donc d'une équation cinétique : \[ \begin{align*} &X_t=X_0+\int_0^tV_sds\,,\\ &V_t=V_0+\int_0^t\sigma\left(s,X_s,V_s\right)dW_s+\int_0^tB\left(X_s,V_s,\rho_s\right)ds\,, \end{align*} \] où \(\rho_t\) est la densité de probabilité de \(\left(X_t,V_t\right)\). Le coefficient de diffusion évolue au cours du temps et en fonction de \(X\) et \(V\) si bien qu'il n'est pas nécessairement uniformément strictement positif. Quant à la dérive, elle dépend de la loi de probabilité du processus si bien que l'on est face à une non-linéarité de type McKean. Plus exactement, on suppose : \[ B\left(x,v,\rho\right):=\frac{\int_{\mathbb{R}^d}b(v,u)\rho(x,v)dv}{\int_{\mathbb{R}^d}\rho(x,v)dv}\,, \] si \(\int_{\mathbb{R}^d}\rho(x,v)dv\neq0\) et \(B\left(x,v,\rho\right)=0\) sinon. La fonction \(b\) satisfait typiquement une hypothèse de bornitude. On peut donc réécrire l'équation cinétique plus haut comme suit : \[ \begin{align*} &X_t(\omega_0)=X_0(\omega_0)+\int_0^tV_s(\omega_0)ds\,,\\ &V_t(\omega_0)=V_0(\omega_0)+\int_0^t\sigma\left(s,X_s(\omega_0),V_s(\omega_0)\right)dW_s(\omega_0)+\int_0^t\frac{\int_{\omega\in\Omega}b\left(V_t(\omega),X_t(\omega_0)\right)\mathbf{1}_{X_t(\omega)=X_t(\omega_0)}\mathbb{P}(d\omega)}{\int_{\omega\in\Omega}\mathbf{1}_{X_t(\omega)=X_t(\omega_0)}\mathbb{P}(d\omega)}ds\,, \end{align*} \] où \(\left(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}\right)\) est l'espace de probabilité sous-jacent. Formellement, la fonction de dérive est donc égale à \((x,u)\mapsto\mathbb{E}\left\{b\left(V_t,u\right)\,\left|\right.\,X_t=x\right\}\).

    Une étude récente montre que le problème est bien posé et qu'il admet une unique solution. La principale question qui m'intéresse pour l'instant est l'existence de probabilités invariantes pour ce modèle.



Collaborateur principal sur ce thème : Michela Ottobre



[1] Bossy, M., Jabir, JF. & Talay, D. Probab. Theory Relat. Fields (2011) 151:319.

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Inégalités fonctionnelles

    Les outils de type "inégalités fonctionnelles" sont l'un de mes domaines d'études. J'ai notamment regardé l'inégalité de Poincaré, à savoir une inégalité de la forme \[\int\left|\left|\varphi(x)\right|\right|^2\mu(dx)\leq C\int\left|\left|\nabla\varphi(x)\right|\right|^2\mu(dx)\,,\] pour toutes les fonctions \(\varphi\) suffisamment régulières. Cette inégalité donne une convergence en temps long.
Afin d'obtenir une telle inégalité, on peut appliquer le critère de courbure-dimension de Bakry-Emery. Celui-ci recquiert des hypothèses de convexité uniforme. On peut s'en passer en utilisant le théorème de Muckenhoupt ou les résultats de Bakry, Barthe, Cattiaux et Guillin.

    Je regarde également des inégalités de type WJ. En d'autres termes, on cherche à prouver qu'une mesure \(\mu\) vérifie l'inégalité \[\begin{align} C\int_{\mathbb{R}^d}\left|\left|x-\nabla\tau(x)\right|\right|^2\mu(dx)\leq&\int_{\mathbb{R}^d}\left\langle\nabla V\left(\nabla\tau(x)\right)-\nabla V(x)\,;\,\nabla\tau(x)-x\right\rangle\mu(dx)+\frac{\sigma^2}{2}\int_{\mathbb{R}^d}\Big(\Delta\tau(x)+\Delta\tau^*\left(\nabla\tau(x)\right)-2d\Big)\mu(dx)\\ &+\frac{1}{2}\iint_{\mathbb{R}^{2d}}\left\langle\nabla F\left(\nabla\tau(x)-\nabla\tau(y)\right)-\nabla F(x-y)\,;\,\left(\nabla\tau(x)-\nabla\tau(y)\right)-(x-y)\right\rangle\mu(dx)\mu(dy)\,,\end{align}\] où \(\tau\) est une fonction convexe de \(\mathbb{R}^d\) dans \(\mathbb{R}\) et \(\tau^*\) est sa transformée de Legendre. Cette inégalité relie la distance de Wasserstein entre deux mesures qui satisfont une équation aux dérivées partielles ainsi que leur dissipation. Elle permet d'établir des limites pour la distance de Wasserstein.

Citons quelques exemples d'applications des inégalités fonctionnelles autres que le comportement en temps long de diffusions :

  1. 1. Concentration de la mesure.
  2. 2. Optimisation, transport de masse.
  3. 3. Isopérimétrie.





Collaborateurs principaux sur ce thème : Bartlomiej Dyda, Pierre Del Moral



[1] Bakry, Dominique; Barthe, Franck; Cattiaux, Patrick; Guillin, Arnaud. A simple proof of the Poincaré inequality for a large class of probability measures. Electron. Commun. Probab. 13 (2008), paper no. 7, 60--66.
[2] François Bolley, Ivan Gentil, Arnaud Guillin, Convergence to equilibrium in Wasserstein distance for Fokker-Planck equations, In Journal of Functional Analysis, Volume 263, Issue 8, 2012, Pages 2430--2457.

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Processus gaussiens

    Dans le cadre du groupe de travail que j'organise (voir ici), je m'intéresse aux processus gaussiens et aux champs gaussiens. Un champ gaussien est une famille \(\left(X_t\right)_{t\in\mathcal{T}}\) de gaussiennes indexée par un espace topologique général \(\mathcal{T}\) (typiquement, \(\mathcal{T}\) est un compact de \(\mathbb{R}^d\) où \(d=2\) ou \(d=3\)) telle que toute combinaison linéaire de cette famille est une gaussienne.

    Il y a plusieurs façons de construire un champ gaussien. On peut utiliser la densité spectrale de puissance (la transformée de Fourier de la fonction d'auto-corrélation) dans le cas où le champ gaussien est stationnaire (par translation). Une autre manière est d'utiliser les espaces à noyaux auto-reproduisant. On se sert alors de l'isomorphisme entre l'espace gaussien et l'espace d'Aronsjazn engendré par la fonction de covariance.

    De plus, si la fonction de covariance souhaitée est continue, on peut prouver sous des hypothèses simples (vérifiées si \(\mathcal{T}\) est un compact de \(\mathbb{R}^d\) où \(d=2\) ou \(d=3\)) que le champ gaussien ainsi construit est lui-même continu.

    Je m'intéresse personnellement à la simulation de champs gaussiens qui ne présentent pas de stationnarité par translation. Une application directe du travail que je mène est le traitement du signal et de l'image.

    Les processus gaussiens sont des modèles non-linéaires de processus aléatoires continus permettant de décrire des données numériques (des sons, des images, des vidéos...). Un processus gaussien est défini principalement par son espérance mathématique et par sa fonction d'auto-covariance (le noyau). La description du noyau à l'aide de fonctions paramétrées, ainsi que l'estimation de ces paramètres constituent le centre de nombreux travaux récents.

    J'encadre un doctorant (Romain Ravaille) avec le Professeur Alata sur ce thème. Dans le contexte des séquences d'images, l'objectif principal n'est plus de décrire un processus gaussien mais un ensemble de processus gaussiens pouvant posséder des instances (supports temporels ou spatiaux) différentes. L'application naturelle est celle d'une vidéo avec des textures dynamiques (feux, vagues, nuages, champs de blé...) prises sous différents angles.



Collaborateurs principaux sur ce thème : Olivier Alata, Romain Ravaille



[1] N. Aronszajn. Theory of Reproducing Kernels. Transactions of the American Mathematical Society, 68(3):337--404, 1950.
[2] Nicolas Durrande, James Hensman, Magnus Rattray, Neil D. Lawrence. Gaussian process models for periodicity detection. PeerJ Computer Science, PeerJ, 2016.
[3] C. E. Rasmussen and C. Williams. Gaussian Processes for Machine Learning. MIT Press, 2006.

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Résonance stochastique

    L'une des motivations de mes travaux est la résonance stochastique. La raison d'être du bruit est de s'opposer au signal. Pourtant, dans certains cas, lorsque l'intensité de celui-ci est optimale, la qualité du signal est améliorée. Lorsque le bruit est trop faible, il n'a pas d'influence notable. S'il devient trop fort, il masque l'information. On parle de résonance stochastique lorsque l'intensité du bruit est optimale.

    L'enjeu est de détecter la valeur optimale. Une bonne façon de déterminer l'optimalité ou non est de fournir une approximation du temps que met le processus pour quitter un état métastable.

    On retrouve le phénomène de résonance stochastique dans le phénomène de refroidissement et de réchauffement climatique.



Collaborateur principal sur ce thème : Samuel Herrmann



[1] R. Benzi, G. Parisi, A. Sutera, and A. Vulpiani. A theory of stochastic resonance in climatic change. SIAM J. Appl. Math., 43:565--578, 1983.
[2] M. Freidlin. Quasi-deterministic approximation, metastability and stochastic resonance. Physica D , 137:333--352, 2000.
[3] L. Gammaitoni, P. Hänggi, P. Jung, and F. Marchesoni. Stochastic resonance. Reviews of Modern Physics , 70:223--287, 1998

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Calcul de Malliavin

    Un autre aspect des probabilités qui m'intérese est celui du calcul de Malliavin. En effet, dans le cadre de mes recherches sur le comportement à temps long des diffusions de McKean-Vlasov, je suis amené à supposer une certaine régularité de la loi initiale. En particulier, je ne peux a priori pas prendre une mesure de Dirac comme loi au temps \(t=0\). Se pose alors la question de savoir s'il y a une régularisation de la loi grâce au terme diffusif. Le calcul de Malliavin est connu pour être adapté à ce type de problèmes.

    Ce dernier repose généralement sur une formule d'intégration par parties. Présentons cela dans un cas simple. On se donne un Mouvement Brownien \(B\). On souhaite montrer - pour tout \(t>0\) - l'existence d'une variable aléatoire \(\xi_t\) telle que \[ \mathbb{E}\left[f'\left(B_t\right)\right]=\mathbb{E}\left[f\left(B_t\right)\xi_t\right]\,, \] pour toute fonction de classe \(\mathcal{C}^\infty\) à support compact. Dans le cas présent, on aura simplement \(\xi_t=\frac{B_t}{t}\). Dans le cas d'une diffusion général \(X\), on aura \(\mathbb{E}\left[\xi_t\,\left|\right.\,X_t\right]=-\frac{\nabla\rho_t}{\rho_t}\left(X_t\right)\) où \(\rho_t:=\mathcal{L}\left(X_t\right)\). On voit donc naturellement apparaître une majoration de l'information de Fisher dès lors que l'on a un contrôle sur \(\xi_t\).

    Je regarde ce problème pour des diffusions inhomogènes générales de la forme \[ X_t=X_0+\sigma B_t+\int_0^tV\left(s,X_s\right)ds\,. \]     Pour une telle diffusion, on peut montrer une régularisation de l'information de Fisher en \(\frac{1}{t^2}\).



Collaborateur principal sur ce thème : Yoann Dabrowski



[1] Peter Friz, Introduction to Malliavin Calculus. 2002
[2] Roelly, S., Thieullen, M. A characterization of Reciprocal Processes via an integration by parts formula on the path space. Probability Theory and Related Fields, 123, 97--120, (2002).
[3] Roelly, S., Thieullen, M., Duality formula for the bridges of a Brownian diffusion. Application to gradient drifts. Stochastic Processes and their Applications, 115, 1677--1700, (2005).

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